５年前に当時２歳の娘がいる状態でお付き合いが始まりました。４年付き合って、去年結婚しました。

結婚するまで住居は別々で、籍を入れてから３人で暮らし始めました。交際期間も週に１度は娘も含めた３人で会っていて、娘もよくなついていたので結婚を決めました。
しかし、最近になって、「やっぱり自分の子じゃないから愛せない、離婚したい」と言い始め、他に浮気等の原因があるのではないかと問い詰めましたが、「浮気はしていない」と言います。ケータイをつねにロックしている事が気になりますが、それ以上は聞けません。

幼かった娘も小学生になり口も達者になりました。お父さんとは呼んでおらず○○くんと呼んでおり、夫もそれに不満はないようです。
仲良くしているように感じていましたが「愛せない」の一点張りで、わたしは娘を手放すようなことは微塵も考えておりません。
他にトラブルもないのですが、やはり離婚するしかないのでしょうか？
離婚した場合、実子でなくても養育費の請求は可能ですか？